Question

【题目】如图：某污水处理厂要在一个矩形污水处理池（ABCD）的池底水平铺设污水净化管道（Rt△FHE，H是直角顶点）来处理污水，管道越长，污水净化效果越好．设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，AD上．已知AB=20米，AD=10 米，记∠BHE=θ．

（1）试将污水净化管道的长度L表示为θ的函数，并写出定义域；
（2）问：当θ取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度．

Answer 1

【答案】
（1）解：由题意可得EH= ，FH= ，EF= ，由于 BE=10tanθ≤10 ，AF= ≤10 ，

而且 ≤tanθ≤ ，θ∈[ ， ]，

∴L= + + ，θ∈[ ， ]．

即L=10× ，θ∈[ ， ]

（2）解：设sinθ+cosθ=t，则 sinθcosθ= ，由于θ∈[ ， ]，∴sinθ+cosθ=t= sin（θ+ ）∈[ ， ]．

由于L= 在[ ， ]上是单调减函数，∴当t= 时，即 θ= 或θ= 时，L取得最大值为 20（ +1）米

【解析】（1）解直角三角形求得得EH、FH、EF的解析式，再由 L=EH+FH+EF得到污水净化管道的长度L的函数解析式，并注明θ的范围．（2）设sinθ+cosθ=t，根据函数 L= 在[ ， ]上是单调减函数，可求得L的最大值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解三角函数的最值(函数，当时，取得最小值为；当时，取得最大值为，则，，)．