Question

【题目】已知函数.

（1）求的单调区间；

（2）对任意的， ，恒有，求正实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）.

【解析】试题分析：（1）先确定函数的定义域然后求导数fˊ（x），再对字母a分类讨论，在函数的定义域内解不等式fˊ（x）>0和fˊ（x）<0，求出单调区间．
（2）根据第一问的单调性，知f（x）在[1，2]上为减函数．若x1=x2，则原不等式恒成立；若x1≠x2，不妨设1≤x1<x2≤2，则f（x1）>f（x2），，所以原不等式进行化简整理得对任意的恒成立，令,转化成研究g（x）在[1，2]的单调性，再利用导数即可求出正实数λ的取值范围．

试题解析：

（1）=，

令f'（x）=0，则x1=2a+1，x2=1．

①当a=0时，，所以f（x）增区间是（0，+∞）；

②当a＞0时，2a+1＞1，

所以f（x）增区间是（0，1）与（2a+1，+∞），减区间是（1，2a+1）；

③当时，0＜2a+1＜1，

所以f（x）增区间是（0，2a+1）与（1，+∞），减区间是（2a+1，1）；

④当时，2a+1≤0，

所以f（x）增区间是（1，+∞），减区间是（0，1）．

（2）因为，所以（2a+1）∈[4，6]，

由（1）知f（x）在[1，2]上为减函数．

若x1=x2，则原不等式恒成立，∴λ∈（0，+∞）．

若x1≠x2，不妨设1≤x1＜x2≤2，则f（x1）＞f（x2），，

所以原不等式即为：，

即对任意的，x1，x2∈[1，2]恒成立．

令，

所以对任意的，x1，x2∈[1，2]有g（x1）＜g（x2）恒成立，

所以在闭区间[1，2]上为增函数．

所以g'（x）≥0对任意的，x∈[1，2]恒成立．

而，g'（x）=x﹣（2a+2），化简即x3﹣（2a+2）x2+（2a+1）x+λ≥0，

即（2x﹣2x2）a+x3﹣2x2+x+λ≥0，其中．

∵x∈[1，2]，∴2x﹣2x2≤0，∴只需．

即x3﹣7x2+6x+λ≥0对任意x∈[1，2]恒成立．

令h（x）=x3﹣7x2+6x+λ，x∈[1，2]，h'（x）=3x2﹣14x+6＜0恒成立．

∴h（x）=x3﹣7x2+6x+λ在闭区间[1，2]上为减函数，则hmin（x）=h（2）=λ﹣8，

∴hmin（x）=h（2）=λ﹣8≥0，解得λ≥8．

故正实数λ的取值范围[8，+∞）