Question

【题目】在四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，其中AD∥BC，AB⊥AD，AB=AD= BC， = ．
（1）求证：DE⊥平面PAC；
（2）若直线PE与平面PAC所成角的正弦值为 ，求二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，

设AB=AD= BC=2，

则D（0，2，0），E（2，1，0），A（0，0，0），C（2，4，0），

=（2，﹣1，0）， =（2，4，0），

=4﹣4+0=0，∴DE⊥AC，

∵PA⊥平面ABCD，DE平面ABCD，∴DE⊥PA，

∵PA∩AC=A，∴DE⊥平面PAC

（2）解：设P（0，0，t），（t＞0）， =（0，0，t）， =（2，4，0）， =（2，1，﹣t），

设平面PAC的法向量 =（x，y，z），

则 ，取x=2，得 =（2，﹣1，0），

∵直线PE与平面PAC所成角的正弦值为 ，

∴ = = ，解得t=1，或t=﹣1（舍），

∴P（0，0，1）， =（2，4，﹣1）， =（0，2，﹣1），

设平面PCD的法向量 =（a，b，c），

则 ，取b=1，得 =（﹣1，1，2），

设二面角A﹣PC﹣D的平面角为θ，

则cosθ= = = ．

二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值为 ．

【解析】（1）以A为原点，AB为x轴，AD为y轴，AP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能证明DE⊥平面PAC．（2）求出平面PAC的法向量和平面PCD的法向量，利用向量法能求出二面角A﹣PC﹣D的平面角的余弦值．
【考点精析】认真审题，首先需要了解直线与平面垂直的判定(一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直；注意点：a)定中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想)．