【题目】已知数列的前项和为，且满足．

（1）求证：数列为等比数列；

（2）若，求的前项和．

参考答案：

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】试题分析：（1）利用，化简得，故是等比数列；（2）由于，相等于一个等差数列乘以一个等比数列，所以考虑用错位相减求和法求前项和为.

试题解析：

（1）当时， ，解得；．．．．．．．．．．．．．．．1分

当时， ，两式相减得，．．．．．．．．．．．．．．．．3分

化简得，所以数列是首项为1，公比为-1的等比数列．．．．．．．．．．5分

（2）由（1）可得，所以，下提供三种求和方法供参考：．．．．．．．6分

【错位相减法】，

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分

两式相减得．．．．．．．．．．．．．．．．9分

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．10分

，．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．11分

所以数列的前项和．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【并项求和法】

当为偶数时， ；．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．9分

当为奇数时， 为偶数， ；．．．．．．．．．．．．11分

综上，数列的前项和．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

【裂项相消法】

因为．．．．．．．．．．．．．．9分

所以

，

所以数列的前项和．．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

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