Question

【题目】已知，函数.

（1）求证：曲线在点处的切线过定点；

（2）若是在区间上的极大值，但不是最大值，求实数的取值范围；

（3）求证：对任意给定的正数，总存在，使得在上为单调函数.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）；（3）证明见解析.

【解析】

试题分析：（1）根据导数的几何意义可求得直线的斜率，从而得切线方程为，进而得切线过定点；（2）令得或，是在区间上的极大值可得且，可得结果；（3）令，得或递增；令，得递减，若在为单调函数，则，即.

试题解析：（1），

曲线在点处的切线方程为，

即，令，则，

故曲线在点处的切线过定点.

（2）解：.

令得或.

是在区间上的极大值，.

令，得或递增；令，得递减.

不是在区间上的最大值，

在区间上的最大值为.

，又.

（3）证明：.

.

令，得或递增；令，得递减.

.

若在为单调函数，则，即.

故对任意给定的正数，总存在（其中），使得在上为单调函数.