Question

【题目】若对于定义在上的连续函数，存在常数（），使得对任意的实数成立，则称是回旋函数，且阶数为.

（1）试判断函数是否是一个阶数为1的回旋函数，并说明理由；

（2）已知是回旋函数，求实数的值；

（3）若回旋函数（）在恰有100个零点，求实数的值.

Answer 1

【答案】（1）是一个阶数为1的回旋函数;（2）， ;（3）.

【解析】试题分析：（1）根据“回旋函数”、“阶数”的定义，只需证明即可；（2）是阶回旋函数，则恒成立，由三角函数的值域可知，然后解简单的三角方程即可得结果；（3）根据“回旋函数”的定义可得， ，根据正弦函数的周期性结合图象即可得结果.

试题解析：（1） ，

函数是一个阶数为1的回旋函数.

（2）设是阶回旋函数，则，

若，上式对任意实数均成立；

若， ，由三角函数的值域可知，

当时，对任意实数有；

则， ，所以.

当时，对任意实数有；

则， ，所以， .

综上所述： ， .

（3） ，对任意的都成立.

由（2）可知， ， ， .

令，解得（）.

函数在恰有100个零点， ，

.又， ，

.