Question

【题目】设函数 ，若曲线 上存在（x0 ， y0），使得f（f（y0））=y0成立，则实数m的取值范围为（ ）
A.[0，e2﹣e+1]
B.[0，e2+e﹣1]
C.[0，e2+e+1]
D.[0，e2﹣e﹣1]

Answer 1

【答案】D
【解析】解：∵﹣1≤cosx≤1，∴ 的最大值为e，最小值为1，∴1≤y0≤e， 显然f（x）= 是增函数，
（i）若f（y0）＞y0 ， 则f（f（y0））＞f（y0）＞y0 ， 与f（f（y0））=y0矛盾；
（ii）若f（y0）＜y0 ， 则f（f（y0））＜f（y0）＜y0 ， 与f（f（y0））=y0矛盾；
∴f（y0）=y0 ，
∴y0为方程f（x）=x的解，即方程f（x）=x在[1，e]上有解，
由f（x）=x得m=x2﹣x﹣lnx，
令g（x）=x2﹣x﹣lnx，x∈[1，e]，
则g′（x）=2x﹣1﹣ = = ，
∴当x∈[1，e]时，g′（x）≥0，
∴g（x）在[1，e]上单调递增，
∴gmin（x）=g（1）=0，gmax（x）=g（e）=e2﹣e﹣1，
∴0≤m≤e2﹣e﹣1．
故选D．
求出y0的范围，证明f（y0）=y0 ， 得出f（x）=x在[1，e]上有解，再分离参数，利用函数单调性求出m的范围．