Question

【题目】已知抛物线上点处的切线方程为．

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）设和为抛物线上的两个动点，其中且，线段的垂直平分线与轴交于点，求面积的最大值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（1）先根据导数几何意义得,再根据切点在切线上,解方程组得（2）设线段中点，根据斜率公式得，根据点斜式得线段的垂直平分线方程,解得T坐标,利用点到点到直线距离公式得高,联立直线方程与抛物线方程,利用韦达定理以及弦长公式得底|AB|,根据三角形面积公式得面积函数关系,最后根据均值不等式求最值

试题解析：（Ⅰ）设点，由得，求导，

因为直线的斜率为-1，所以且，解得，

所以抛物线的方程为．

（Ⅱ）设线段中点，则

，

∴直线l的方程为，

即， 过定点.

联立

得，

，

设到AB的距离，

，

当且仅当，即 (-2,2)时取等号，

的最大值为.