Question

【题目】已知二次函数满足以下两个条件：①不等式的解集是②函数在上的最小值是3.

（Ⅰ）求的解析式；

（Ⅱ）若点在函数的图象上，且.

（ⅰ）求证：数列为等比数列

（ⅱ）令，是否存在正实数，使不等式对于一切的恒成立？若存在，指出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）（ⅰ）证明过程见解析；（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）根据不等式的解集可知函数与x轴的交点横坐标为，0且开口向上，根据对称轴判断函数在上的最小值列出等式求解即可；（Ⅱ）（ⅰ）点代入函数并整理得，同时取对数即可得证；（ⅱ）求出的通项公式代入不等式可得对于一切的恒成立，利用二次函数的图象与性质求出的最大值即可得解.

（Ⅰ）因为不等式的解集是，

所以设，且函数的对称轴为：，

因为在上单调递增，所以最小值为，解得，

函数解析式为；

（Ⅱ）（ⅰ）证明：因为点在函数的图象上，

所以，则，，

因为，所以，

数列是以2为首项，2为公比的等比数列；

（ⅱ），要使不等式对于一切的恒成立，

则对于一切的恒成立，

所以对于一切的恒成立，

令，

令，则，()，，

所以当时， 不等式对于一切的恒成立.