Question

【题目】如图，已知在棱柱的面底是菱形，且面ABCD，

为棱的中点，M为线段的中点.

（1）求证：平面平面；

（2）求三棱锥的体积.

Answer 1

【答案】(1)见解析;(2) .

【解析】试题分析：（1）因为底面是菱形，所以AC⊥面BDD1B，又MF∥AC，所以MF⊥面BDD1B，即平面平面；（2）过点B作BH⊥AD于H，可证出BH⊥平面ADD1A1，从而BH是三棱锥B﹣DD1F的高，求出△DD1F的面积，计算出三棱锥D1﹣BDF的体积．

试题解析：

（1）证明：∵底面是菱形，

∴AC⊥BD；

又∵B1B⊥面ABCD，AC面ABCD

∴AC⊥B1B，BD∩B1B=B，

∴AC⊥面BDD1B1

又∵MF∥AC，

∴MF⊥面BDD1B1；

又∵MF平面D1FB，

∴平面D1FB⊥平面BDD1B1；

（2）如图，过点B作BH⊥AD，垂足为H，

∵AA1⊥平面ABCD，BH平面ABCD，

∴BH⊥AA1，

∵AD、AA1是平面ADD1A1内的相交直线，

∴BH⊥平面ADD1A1，

在Rt△ABH中，∠DAB=60°，AB=AD=1，

∴BH=ABsin60°=，

∴三棱锥D1﹣BDF的体积为

V==×S△DD1FBH=××1×1×=．