Question

【题目】设函数f(x)＝1－x2＋ln(x＋1).

(1)求函数f(x)的单调区间；

(2)若不等式f(x)＞－x2(k∈N*)在(0，＋∞)上恒成立，求k的最大值.

Answer 1

【答案】(1)见解析(2)3

【解析】

（1）首先求出f（x）的定义域，函数f（x）的导数，分别令它大于0，小于0，解不等式，必须注意定义域，求交集；

（2）化简不等式f（x）＞﹣x2，得：（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx，令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，求出g'（x），由x＞0，求出2+ln（x+1）＞2，讨论k，分k≤2，k＞2，由恒成立结合单调性判断k的取值，从而得到k的最大值．

（1）函数f（x）的定义域为（﹣1，+∞），

函数f（x）的导数f'（x）=﹣2x+，

令f'（x）＞0则＞2x，

解得，

令f'（x）＜0则，

解得x＞或x＜，

∵x＞﹣1，

∴f（x）的单调增区间为（﹣1，），

单调减区间为（，+∞）；

（2）不等式f（x）＞﹣x2

即1﹣x2+ln（x+1）＞，即1+ln（x+1）＞，

即（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立，

令g（x）=（x+1））[1+ln（x+1）]﹣kx，则

g'（x）=2+ln（x+1）﹣k，

∵x＞0，∴2+ln（x+1）＞2，

若k≤2，则g'（x）＞0，即g（x）在（0，+∞）上递增，

∴g（x）＞g（0）即g（x）＞1＞0，

∴（x+1）[1+ln（x+1）]＞kx（k∈N*）在（0，+∞）上恒成立；

若k＞2，可以进一步分析，只需满足最小值比0大，即可，

结合K为正整数，故k的最大值为3．