Question

【题目】已知函数.

（1）当时,求曲线在点处的切线方程；

（2）若函数在其定义域内为增函数,求实数的取值范围；

（3）设函数,若在区间上至少存在一点,使得成立,求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】(1) (2) （3）

【解析】

（1）求出f（x）的导数，求出f′（1），f（1），代入切线方程即可；

（2）求出函数的导数，通过讨论a的范围结合二次函数的性质得到函数的单调性，从而求出a的具体范围；

（3）构造函数（x）=f（x）﹣g（x），x∈[1，e]，只需（x）max＞0，根据函数的单调性求出（x）max，从而求出a的范围．

（1）解: 当时,,, ,

曲线在点处的斜率为, 故曲线在点处的切线方程为,即

（2）解: . 令,要使在定义域内是增函数,只需≥在区间内恒成立. 依题意,此时的图象为开口向上的抛物线,,其对称轴方程为,,则只需≥,即≥时,≥,≥,

所以定义域内为增函数,实数的取值范围是.

（3）解: 构造函数,,依题意,

由（2）可知≥时,为单调递增函数,

即在上单调递增,

,则,

此时,,即成立.

当≤时,因为,,

故当值取定后,可视为以为变量的单调递增函数,

则≤,,

故≤,

即≤,不满足条件.

所以实数的取值范围是.