Question

【题目】已知(a>0，且a≠1)．

(1)讨论f(x)的奇偶性；

(2)求a的取值范围，使f(x)>0在定义域上恒成立．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】

（1）依题意，可得函数f（x）的定义域为{x|x≠0}，利用函数奇偶性的定义可判断出f（﹣x）=f（x），从而可知f（x）的奇偶性；

（2）由（1）知f（x）为偶函数，故只需讨论x＞0时的情况，依题意，当x＞0时，由f（x）＞0恒成立，即可求得a的取值范围．

(1)由于ax－1≠0，则ax≠1，得x≠0，

所以函数f(x)的定义域为{x|x≠0}.

对于定义域内任意x，有

f(－x)＝ (－x)3

＝ (－x)3

＝ (－x)3

＝x3＝f(x).

∴f(x)是偶函数.

(2)由(1)知f(x)为偶函数，

∴只需讨论x>0时的情况，当x>0时，要使f(x)>0，即x3>0，

即＋>0，即>0，则ax>1.

又∵x>0，∴a>1.

因此a>1时，f(x)>0.