【题目】已知函数，

（1）求函数的单调递减区间；

（2）若关于的方程在区间上有两个不等的根，求实数的取值范围；

（3）若存在，当时，恒有，求实数的取值范围．

参考答案：

【答案】（1）;（2） ;（3）

【解析】

试题分析：（1）由题已知函数,求函数的单调区间，可按照先求导，再令，又解出对应的不等式的解集，可得；（注意定义域优先）

（2）由在区间上有两个根，可通过构造函数，转而利用导数考察函数的单调性和极值，再结合零点判定定理可建立关于不等式组，可求。

（3）由，都有为恒成立问题，可构造函数，又，只需函数在给定的区间上单调递增即可，可利用导数，让导函数再区间上恒大于零可解出的取值范围.

试题解析：解：（1）因为函数的定义域为，

且，

令，即解之得:

所以函数的单调递减区间为

（2）令，

且定义域为

所以,令，，

列表如下：

1

+

0

-

递增

极大值

递减

所以函数在区间先单调递减后单调递增，故要使有两个不等的根，

只须即所以

（3）令，且

要使存在，当时，恒有，

则只须即可，

也就是存在，当时函数是单调递增的，

又因为，只须在时成立，

即，解得，所以的取值范围是.

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