Question

【题目】已知函数

（1）求函数的定义域；

（2）判定函数在的单调性，并证明你的结论；

（3）若当时， 恒成立，求正整数的最大值.

Answer 1

【答案】（1） （2）减函数 （3）3

【解析】试题分析：

(1)结合函数的解析式可得函数的定义域为 ；

(2)对函数 求导，结合题意和导函数的解析式可得＝－ <0，所以函数f(x)在区间(-1,0)上是减函数.

(3)首先由不等式的性质可得k的最大值不大于３，然后结合导函数的性质可得满足题意，即正整数的最大值是3.

试题解析：

解：(Ⅰ)函数的定义域为

(Ⅱ)＝＝－　设,

故g(x)在(-1,0)上是减函数,而g(x)>g(0)=1>0,

故＝－ <0，

所以函数f(x)在区间(-1,0)上是减函数.　

（III）当ｘ>０时，f（ｘ）＞恒成立,　令ｘ＝１有ｋ＜２

又k为正整数．∴k的最大值不大于３． 　　　　　　　

下面证明当ｋ＝３时，f（ｘ）＞（ｘ＞０）恒成立．

即证当ｘ>０时， ＋１－２ｘ＞０恒成立．　　　　　

令ｇ（ｘ）＝ ＋１－２ｘ，则＝－１，

当ｘ>ｅ－１时， ＞０；当０＜ｘ＜ｅ－１时， ＜０．

∴当ｘ＝ｅ－１时，ｇ（ｘ）取得最小值ｇ(e－1)＝３－ｅ＞０．

∴当ｘ>０时， ＋１－２ｘ＞０恒成立．

因此正整数k的最大值为3．