Question

【题目】已知函数，曲线在点处的切线与轴交点的横坐标为.

（1）求；

（2）证明：当时，曲线与直线只有一个交点.

Answer 1

【答案】（1）；（2）详见解析．

【解析】试题分析：（1），由导数的几何意义得，故切线方程为，将点代入求；（2）曲线与直线只有一个交点转化为函数有且只有零点．一般思路往往利用导数求函数的单调区间和极值点，从而判断函数大致图象，再说明与轴只有一个交点．本题首先入手点为，当时， ，且， ，所以在有唯一实根．只需说明当时无根即可，因为，故只需说明，进而转化为求函数的最小值问题处理．

（1）， ．曲线在点处的切线方程为．由题设得， ，所以．

（2）由（1）得， ．设．由题设得．当时， ， 单调递增， ， ，所以在有唯一实根．当时，令，则． ， 在单调递减；在单调递增．所以．所以在没有实根，综上， 在上有唯一实根，即曲线与直线只有一个交点．