Question

【题目】如图1，已知四边形BCDE为直角梯形，，，且，A为BE的中点将沿AD折到位置如图，连结PC，PB构成一个四棱锥．

Ⅰ求证；

Ⅱ若平面ABCD．

求二面角的大小；

在棱PC上存在点M，满足，使得直线AM与平面PBC所成的角为，求的值．

Answer 1

【答案】Ⅰ详见解析；Ⅱ①，②或．

【解析】

Ⅰ可以通过已知证明出平面PAB，这样就可以证明出；

Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，可以求出相应点的坐标，求出平面PBC的法向量为、平面PCD的法向量，利用空间向量的数量积，求出二面角的大小；

求出平面PBC的法向量，利用线面角的公式求出的值.

证明：Ⅰ在图1中，，，

为平行四边形，，

，，

当沿AD折起时，，，即，，

又，平面PAB，

又平面PAB，．

解：Ⅱ以点A为坐标原点，分别以AB，AD，AP为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，由于平面ABCD

则0，，0，，1，，0，，1，

1，，1，，0，，

设平面PBC的法向量为y，，

则，取，得0，，

设平面PCD的法向量b，，

则，取，得1，，

设二面角的大小为，可知为钝角，

则，．

二面角的大小为．

设AM与面PBC所成角为，

0，，1，，，，

平面PBC的法向量0，，

直线AM与平面PBC所成的角为，

，

解得或．