Question

【题目】已知函数 (m、n为常数，e = 2.718 28…是自然对数的底数)，曲线y = f (x)在点(1，f (1))处的切线方程是．

(Ⅰ)求m、n的值；

(Ⅱ)求f (x)的最大值；

(Ⅲ)设 (其中为f (x)的导函数)，证明：对任意x > 0，都有．

(注： )

Answer 1

【答案】(Ⅰ) n = 2，m = 2 (Ⅱ) (Ⅲ)见解析

【解析】试题分析：（1）由切线方程为得到 ，从中可以解出．（2）函数的导数，观察可以发现当时， ，所以；当时， ，从而得到函数的单调性及其最值．（3）函数是一个较为复杂的函数，我们可以把要求证的不等式转化为求证和，后两个不等式可以通过构建新函数来证明．

解析： （Ⅰ）由 ，得，由已知得，解得．又．

（Ⅱ）解：由(Ⅰ)得： ，

当时， ，所以；当时， ，所以，∴当时， ；当时， ， 的单调递增区间是，单调递减区间是， 时， ．

(Ⅲ)证： ．对任意， 等价于，令 ，则 ，由 得： ，

∴当 时， ， 单调递增；

当 时， ， 单调递减，

所以的最大值为 ，即 ．设 ，则 ，∴当 时， 单调递增， ，故当 时， ，即， ，∴对任意，都有 ．