【题目】动点P到定点F(0，1)的距离比它到直线的距离小1，设动点P的轨迹为曲线C，过点F的直线交曲线C于A、B两个不同的点，过点A、B分别作曲线C的切线，且二者相交于点M．

(Ⅰ)求曲线C的方程；

(Ⅱ)求证： ；

(Ⅲ)求△ABM的面积的最小值．

参考答案：

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)见解析(Ⅲ)4．

【解析】试题分析：（1）利用定义判断出曲线为抛物线．（2）设出点的坐标，利用导数分别求出过点的切线方程，求出交点的坐标为，联立直线和抛物线的方程，利用韦达定理算出，从而得到，利用向量可以计算，所以．（3）利用焦半径公式和点到直线的距离可以求得，从而求得面积的最小值为．

解析：(Ⅰ)由已知，动点在直线上方，条件可转化为动点到定点的距离等于它到直线距离，∴动点的轨迹是以为焦点，直线为准线的抛物线，故其方程为．

(Ⅱ)证：设直线的方程为： ，由 得： ，设，则 , ．由 得： ，∴直线的方程为： 　①，

直线的方程为： ②，

①－②得： ，即 ，

将 代入①得： ， ，故，

， ．

(Ⅲ)解：由(Ⅱ)知，点到的距离， ， ，∴当时， 的面积有最小值4．

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