Question

【题目】如图，已知正方形ABCD的边长为1，E在CD延长线上，且DE=CD．动点P从点A出发沿正方形ABCD的边按逆进针方向运动一周回到A点，其中 =λ +μ ，则下列命题正确的是 ． （填上所有正确命题的序号）
①当点P为AD中点时，λ+μ=1；
②λ+μ的最大值为3；
③若y为给定的正数，则一存在向量 和实数x，使 =x +y ．

Answer 1

【答案】①②
【解析】解：由题意，设正方形的边长为1，建立坐标系如图，
则B（1，0），E（﹣1，1），
∴ =（1，0）， （﹣1，1），
∴ =λ +μ =（λ﹣μ，μ），
当点P为AD中点时，
∴ =（0， ），
∴λ﹣μ=0，μ= ，
故λ+μ=1；故①正确，
当P∈AB时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=0，
∴0≤λ≤1，0≤λ+μ≤1，
当P∈BC时，有λ﹣μ=1，0≤μ≤1，
∴λ=μ+1，∴1≤λ≤2，∴1≤λ+μ≤3，
当P∈CD时，有0≤λ﹣μ≤1，μ=1，
∴μ≤λ≤μ+1，即1≤λ≤2，∴2≤λ+μ≤3，
当P∈AD时，有λ﹣μ=0，0≤μ≤1，
∴0≤λ≤1，∴0≤λ+μ≤2，
综上，0≤λ+μ≤3，
故②正确；
若存在向量 和实数x，使 =x +y ，（y为给定的正数），
则（x，0）+（ ， ）=（0，1），
即（x+ ， ）=（0，1），
∴x+ =1，与y无关，
故③错误，
所以答案是：①②．

【考点精析】本题主要考查了平面向量的基本定理及其意义的相关知识点，需要掌握如果、是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量，有且只有一对实数、，使才能正确解答此题．