Question

【题目】函数g（x）=f（x）+2x，x∈R为奇函数．
（1）判断函数f（x）的奇偶性；
（2）若x＞0时，f（x）=log3x，求函数g（x）的解析式．

Answer 1

【答案】
（1）解：任给x∈R，f（x）=g（x）﹣2xf（﹣x）=g（﹣x）+2x…（2分）

因为g（x）为奇函数，所以g（﹣x）=﹣g（x），

所以f（﹣x）=﹣g（x）+2x=﹣f（x），

所以f（x）为奇函数

（2）解：当x＞0时，g（x）=log3x+2x

当x＜0时，﹣x＞0，所以g（﹣x）=log3（﹣x）﹣2x

因为 g（x）为奇函数

所以 g（x）=﹣g（﹣x）=﹣[log3（﹣x）﹣2x]=2x﹣log3（﹣x）

又因为奇函数g（0）=0

所以g（x）=

【解析】（1）函数g（x）=f（x）+2x（x∈R）为奇函数，g（﹣x）=f（﹣x）﹣2x=﹣g（x）=﹣f（x）﹣2x，可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断函数f（x）的奇偶性；（2）若x＞0时，f（x）=log3x，求出x＜0，x=0时的解析式，即可求函数g（x）的解析式．
【考点精析】认真审题，首先需要了解奇偶性与单调性的综合(奇函数在关于原点对称的区间上有相同的单调性；偶函数在关于原点对称的区间上有相反的单调性)．