Question

【题目】已知向量 与 ．
（Ⅰ）若 在 方向上的投影为 ，求λ的值；
（Ⅱ）命题P：向量 与 的夹角为锐角；
命题q： ，其中向量 ， =（ ）（λ，α∈R）．若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，求λ的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知， 在 方向上的投影 = ，即 = ．
所以1﹣2λ=5，∴λ=﹣2．
（Ⅱ）1°，若p为真，则 ＞0，且 ，即1﹣2λ＞0，且λ≠﹣2．
2°若p为真，由 得λ2﹣cos2α=λ+2sinα，
∴λ2﹣λ=cos2α+2sinα=1﹣sin2α+2sinα=﹣（sinα﹣1）2+2．
∵﹣1≤sinα≤1，∴﹣2≤λ2﹣λ≤2，∴﹣1≤λ≤2．
若p真q假，则 ∴λ＜﹣1且λ≠﹣2．
若p假q真，则 ∴ ≤λ≤2
综上得λ∈（﹣∞，﹣2）∪（﹣2，﹣1）∪[ ，2]
【解析】（Ⅰ） 在 方向上的投影的表达式是 ，由此得出关于λ的方程，解出即可．（Ⅱ）若“p或q”为真命题，“p且q”为假命题，则pq中一真一假，分类求解，再合并即可．
【考点精析】解答此题的关键在于理解复合命题的真假的相关知识，掌握“或”、 “且”、 “非”的真值判断:“非p”形式复合命题的真假与F的真假相反；“p且q”形式复合命题当P与q同为真时为真，其他情况时为假；“p或q”形式复合命题当p与q同为假时为假，其他情况时为真，以及对数量积表示两个向量的夹角的理解，了解设、都是非零向量，，，是与的夹角，则．