Question

【题目】已知函数（为常数），函数，（为常数，且）.

（1）若函数有且只有1个零点，求的取值的集合.

（2）当（1）中的取最大值时，求证：.

Answer 1

【答案】(1) {k|k≤0或k=1} (2)见解析

【解析】试题分析：

（1）由题意得，①当k≤0时，由根的存在性定理可得f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零点，符合题意。②当k>0时，可得f(x)在上单调递增，在上单调递减。若，得k=1，显然满足题意；若，则得在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意。综上可得实数k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}.

（2）由(1)知k=1，可得lnx≤x-1，而，故。故当k=1时， 。 再证记，即可得到结论。

试题解析：

(1)由题意得，

①当k≤0时，f′(x)>0，则f(x)在(0，+∞)单调递增.

而f(ek-2)=k-2-kek-2+1=k(1-ek-2)-1≤-1<0，f(1)=1-k>0，

故f(x)在(ek-2，1)上存在唯一零点，满足题意；

②当k>0时，

令f′(x)>0得0<x<，则f(x)在上单调递增；

令f′(x)<0得x>，则f(x)在上单调递减；

若，得k=1，显然满足题意；

若，则0<k<1，而f=<0，

又f=2ln-+1=2+1，

令h(x)=lnx-x+1，则h′(x)=，

令h′(x)>0，得x<1，故h(x)在(0，1)上单调递增；

令h′(x)<0，得x>1，故h(x)在(1，+∞)上单调递减；

故h(x)≤h(1)=0，则h=ln-+1<0，

即ln-<-1，

则f=2ln-+1=2+1<-1<0.

故在上有唯一零点，在上有唯一零点，不符题意.

综上实数k的取值的集合为{k|k≤0或k=1}.

(2)由(1)知k=1，可得lnx≤x-1，当且仅当x=1时等号成立，

而，故，

则k=1时，

。

记，

则F′(x)=(x+1)=(axex-2)，

令G(x)=axex-2，则G′(x)=a(x+1)ex>0，故G(x)在(0，+∞)上单调递增.

而G(0)=-2<0，G=2(-1)>0，

故存在x0∈，使得G(x0)=0，即ax0-2=0.

且当x∈(0，x0)时，G′(x)<0，故F′(x)<0；

当x∈(x0，+∞)时，G′(x)>0，故F′(x)>0.

则F(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，+∞)上单调递增，

故

故ag(x)-2f(x)>2(lna-ln2).