Question

【题目】已知椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2 ，长轴长为4．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）如图，过坐标原点O作两条互相垂直的射线，与椭圆C交于A，B两点．设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2），直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），试求m的值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）∵椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2 ，长轴长为4，
∴c= ，a=2，
∴b=1，
∴椭圆C的标准方程为 =1；
（Ⅱ）直线AB的方程为y=﹣2x+m（m＞0），代入椭圆方程得
17x2﹣16mx+4m2﹣4=0，
则x1+x2= ，x1x2= ，①
由OA⊥OB，
知x1x2+y1y2=x1x2+（﹣2x1+m）（﹣2x2+m）
=5x1x2﹣2m（x1+x2）+m2=0，
将①代入，得5× ﹣2m× +m2=0，
∵m＞0，
∴m=2．
【解析】（Ⅰ）利用椭圆C： =1（a＞b＞0）的焦距为2 ，长轴长为4，求出椭圆的几何量，可得椭圆C的标准方程；（Ⅱ）直线AB、联立椭圆方程，消去y，运用韦达定理，由OA⊥OB，则有x1x2+y1y2=0，化简整理即可求m的值．