Question

【题目】已知双曲线和椭圆有公共的焦点，且离心率为．

（Ⅰ）求双曲线的方程．

（Ⅱ）经过点作直线交双曲线于， 两点，且为的中点，求直线的方程．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (Ⅱ)

【解析】试题分析：

（I）设双曲线方程为，由题意得，结合，可得，故可得， ，从而可得双曲线方程。（Ⅱ）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，与双曲线方程联立消元后根据根与系数的关系可得，解得可得直线方程。

试题解析：

（I）由题意得椭圆的焦点为， ，

设双曲线方程为，

则，

∵

∴，

∴ ，

解得，

∴ ，

∴ 双曲线方程为．

（II）由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为，即。

由消去x整理得

，

∵直线与双曲线交于， 两点，

∴，

解得。

设， ,

则，

又为的中点

∴ ，

解得．满足条件。

∴ 直线，即.