Question

【题目】如图，在三棱柱中，侧棱底面， 为棱中点． ， ， ．

（I）求证： 平面．

（II）求证： 平面．

（III）在棱的上是否存在点，使得平面平面？如果存在，求此时的值；如果不存在，说明理由．

Answer 1

【答案】（I）见解析；（II）见解析；（III）见解析.

【解析】试题分析：（Ⅰ）连结AB1交A1B于O，连结OM，可证OM∥B1C，又OM平面A1BM，B1C平面A1BM，即可证明B1C∥平面A1BM．

（Ⅱ）易证AA1⊥BM，又可证BM⊥AC1，由AC=2，AM=1，，可求∠AC1C+∠C1AC=∠A1MA+∠C1AC=90°，从而可证A1M⊥AC1，从而证明AC1⊥平面A1BM．

（Ⅲ）当点N为BB1中点时，可证平面AC1N⊥平面AA1C1C，设AC1中点为D，连结DM，DN，可证BM∥DN，由BM⊥平面ACC1A1，可证DN⊥平面ACC1A1，即可证明平面AC1N⊥平面ACC1A1．

试题解析：

（I）证明：连接交于点，

连接，

在中， ， 分别是， 中点，

∴．

又∵平面，

平面，

∴平面．

（II）∵底面，

平面，

∴，

又∵为棱中点，

，

∴，

∵点，

∴平面，

∴，

∵为中点， ，

∴，

又∵．

在与中，

，

∴，

∴，

∴，

∵点，

∴平面．

（III）存在点，当时成立，

设中点为，连接， ，

∵， 分别为， 中点，

∴，

∵为中点，

∴，

∴，

∵平面，

∴平面，

又∵平面．

∴平面平面．