Question

【题目】已知函数 ，且f（1）=2，f（2）=3． （I）若f（x）是偶函数，求出f（x）的解析式；
（II）若f（x）是奇函数，求出f（x）的解析式；
（III）在（II）的条件下，证明f（x）在区间 上单调递减．

Answer 1

【答案】解：（I）函数 ，且f（x）是偶函数，f（1）=2，f（2）=3．则有 f（﹣1）=f（1）=2，
那么：那么： ，解得：a= ，b=0，c= ．
∴f（x）的解析式为f（x）= =
（II）f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），则有 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，
那么： ，解得：a=2，b= ，c=0．
∴f（x）的解析式为f（x）= ．
（III）由（II）可得f（x）= ．
设 ，
那么：f（x1）﹣f（x2）= = =
∵ ，
∴ ，
4x1x2﹣2＜0．
故：f（x1）﹣f（x2）＞0．
所以f（x）在区间 上单调递减
【解析】（I）根据f（x）是偶函数，可得f（﹣x）=f（x），那么有 f（﹣1）=f（1）=2，可求a，b，c的值．可得解析式（II）根据f（x）是奇函数，可得f（﹣x）=﹣f（x），那么有 f（﹣1）=﹣f（1）=﹣2，可求a，b，c的值．可得解析式（III）定义法证明其单调性．
【考点精析】本题主要考查了函数单调性的判断方法的相关知识点，需要掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较才能正确解答此题．