Question

【题目】已知双曲线C的顶点在x轴上，两顶点间的距离是8，离心率

（1）求双曲线C的标准方程；

（2）过点P（3，0）且斜率为k的直线与双曲线C有且仅有一个公共点，求k的值

Answer 1

【答案】（1）（2）或或或．

【解析】

试题分析：（1）根据双曲线方程的标准形式，利用代定系数法求解即可；（2）把直线方程和曲线方程联立得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，对二次项系数分类讨论，再结合二次函数的性质求解

试题解析：（1）设双曲线C的标准方程为

∴2a=8，

所以a=4，c=5，b=3，

∴双曲线C的标准方程为

（2）直线方程为y=k（x﹣3）

由得（9﹣16k2）x2+96k2x﹣144（k2+1）=0，

①9﹣16k2=0，即或时，直线与双曲线有且仅有一个公共点，

②9﹣16k2≠0，

∴△=（96k2）2+4×144（9﹣16k2）（k2+1）=0，

∴7k2﹣9=0，

∴或…（

综上所述，或或或．