Question

【题目】如图，在四棱锥中，四边形为直角梯形，平面 ，为的中点，．

（1）求证：平面 ；

（2）设，求点到平面 的距离．

Answer 1

【答案】（1）见解析，（2）

【解析】

试题分析：（1）证明线面平行常用方法：一是利用线面平行的判定定理，二是利用面面平行的性质定理，三是利用面面平行的性质；（2）利用棱锥的体积公式求体积．（3）证明线面垂直的方法：一是线面垂直的判定定理；二是利用面面垂直的性质定理；三是平行线法（若两条平行线中的一条垂直于这个平面，则另一条也垂直于这个平面．解题时，注意线线、线面与面面关系的相互转化．（4）在求三棱柱体积时，选择适当的底作为底面，这样体积容易计算．

试题解析：（1）证明：

（方法一）设线段的中点为，连接．

∵为的中点，∴

∵，且，∴四边形为平行四边形，∴．

又，∴平面 平面．

∵平面 ，∴平面 ．

（方法二）设线段的中点为，连接．

∵为的中点，

∴，且．

又∵，且，∴，∴四边形为平行四边形，∴．

∵平面 平面 ，

∴平面

（2）解：（方法一）∵四边形为直角梯形，．

∴四边形为正方形，为等腰直角三角形．

∴，即．

又∵平面 ，∴．

又，∴平面 ，面平面 ，

∴平面 平面

过作于点，则平面 ，即为点到平面的距离．

∵，∴，∴，点到平面 的距离为

（方法二）设点到平面的距离为．

∵，∴，∴．

由方法一得，平面 ，∴，

∴．