Question

【题目】如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直于底面，AB⊥BC，AA1＝AC＝2，BC＝1，E，F分别是A1C1，BC的中点.

(1)求证：AB⊥平面B1BCC1； 平面ABE⊥平面B1BCC1；

(2)求证：C1F∥平面ABE；

(3)求三棱锥E－ABC的体积.

Answer 1

【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)

【解析】

试题分析：（1）由，可证明AB⊥B1BCC1，进而由面面垂直的判定定理可得平面ABE⊥平面B1BCC1；（2）证明C1F∥平面ABE，只需证明四边形FGEC1为平行四边形，可得C1F∥EG；（3）利用VE-ABC=S△ABCAA1，可求三棱锥E-ABC的体积

试题解析：（1）因为在三棱柱中，底面，所以，又因为，所以平面，所以平面平面。 ......4分

（2）取的中点，连接

因为分别是、、的中点，所以，且，。因为且，所以且，所以四边形为平行四边形，所以。又因为在平面上，且不在平面上，所以平面。 ......8分

（3）因为，，，所以，所以三棱锥的体积。 ......12分