Question

【题目】已知四棱锥的底面为直角梯形，，底面，且，是的中点．

（1）证明：面面；

（2）求直线与所成角的余弦值；

（3）求二面角的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）根据面面垂直的判定定理，要证明面面垂直，先证明线面垂直，根据垂直关系，可证明平面；（2）几何法求异面直线所成的角，通过平移直线，将异面直线转化为相交直线所成的角，取中点，中点，连结，则，长至点，使得，连结，则，所以或其补角为直线与所成的角，在三角形内，根据余弦定理求角；（3）因为H和全等，过点作，连结，所以，故为二面角的平面角，同样根据余弦定理求解；或是根据向量法求后两问．

试题解析：（1）因为且，所以

因为面，所以，

而，所以面，又面，所以面面

方法一：（2）取中点，中点，连结，则，且。延长至点，使得，连结，则，且，所以或其补角为直线与所成的角。易得，，，所以，故所求直线与所成角的余弦值为

（3）过点作，连结，因为，，是和公共边，所以，故为二面角的平面角，易得，而，所以，所以所以所求的二面角的余弦值为。

方法二：（2）以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，则，，,,, 则，于是，，故，故所求直线与所成角的余弦值为

（3）由（2）知，，，

设面的一个法向量为，由且，得，则，取，则，故

设面的一个法向量为，由且，得，则，取，则，故

所以

由图可知，此二面角为钝二面角，所以所求的二面角的余弦值为