Question

【题目】已知函数，在区间内任取两个实数，，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是

A. B. C. D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

分析：首先，由的几何意义，得到直线的斜率，然后，得到函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，从而得到f′（x）=＞1 在（1，2）内恒成立．分离参数后，转化成 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．从而求解得到a的取值范围．

详解：∵的几何意义为：

表示点（p+1，f（p+1）） 与点（q+1，f（q+1））连线的斜率，

∵实数p，q在区间（0，1）内，故p+1 和q+1在区间（1，2）内．

不等式＞1恒成立，

∴函数图象上在区间（1，2）内任意两点连线的斜率大于1，

故函数的导数大于1在（1，2）内恒成立．

由函数的定义域知，x＞﹣1，

∴f′（x）=＞1 在（1，2）内恒成立．

即 a＞2x2+3x+1在（1，2）内恒成立．

由于二次函数y=2x2+3x+1在[1，2]上是单调增函数，

故 x=2时，y=2x2+3x+1在[1，2]上取最大值为15，

∴a≥15

∴a∈[15，+∞）．

故选：A．