Question

【题目】已知直线．

（1）求证：无论取何值，直线始终经过第一象限；

（2）若直线与轴正半轴交于点，与轴正半轴交于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析； （2）面积的最小值为4，直线的方程为．

【解析】

（1）先将直线方程化成点斜式，求得、的值，可得定点坐标，再根据定点在第一象限，可得直线始终经过第一象限；

（2）法一：先求得、的坐标，可得的面积为表达式，再利用基本不等式，求得的最小值及此时的值，进而得到此时直线的方程．

法二：设直线的方程为，则，直线过定点，所以，利用基本不等式求得，则可得的最小值及此时的的值，进而得到此时直线的方程．

（1）因为直线，即，令，求得，，

即直线过定点且在第一象限，

所以无论取何值，直线始终经过第一象限．

（2）方法一：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，所以，

令，解得；令，得，

即，，

∴，

∵，∴，

则，

当且仅当，也即时，取得等号，

则，

∴，从而的最小值为4，

此时直线的方程为，即．

方法二：因为直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，设，，

设直线的方程为，则，

又直线过定点，所以，

又因为，，所以，

即：，所以，

∴，即的最小值为4，

此时，解得，，

所以直线的方程为，即：．