Question

【题目】已知函数， ．

（Ⅰ）当时，求曲线在点处的切线方程．

（Ⅱ）当时，若曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，试求的取值范围．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】试题分析：

（Ⅰ）根据导数的几何意义求出切线方程即可。（Ⅱ）将问题转化为：当时，不等式恒成立。构造函数设， ，只需证明即可。因此将问题转化为求函数在区间上的最大值和最小值即可。

试题解析：

（Ⅰ） 当时， ， ，

∴，

∴，

又，

∴曲线在点处的切线方程为，

即．

（Ⅱ）“当时，曲线上的点都在不等式组所表示的平面区域内，”

等价于“当时， 恒成立。”

设， ，

则，

①当，即时，

当时， ， 单调递减，

故，

根据题意有，解得.

②当，即时，

则当， ， 单调递增，

当， ， 单调递减.

∵，

∴不符合题意．

③当，即时，注意到，显然不合题意．

综上所述，实数．