Question

【题目】如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于点D、E，BC的延长线于⊙O的切线AF交于点F．

（1）求证：∠ABC=2∠CAF；

（2）若，CE∶EB=1∶4，求CE的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）2。

【解析】试题分析：（1）依据题设条件证明“∠CAF＝∠ABD”，即说明BA＝BC，再借助等腰三角形的高线即为角平分线进行推证；（2）借助相似三角形的性质，即对应边成比例建立方程进行求解：

解： (1) 证明：连接BD．

∵AB为⊙O的直径，

∴∠ADB=90°，

∴∠DAB+∠ABD=90°．　　　　　　　

∵AF是⊙O的切线，

∴∠FAB＝90°，

∴∠CAF＋∠DAB＝90°，

∴∠CAF＝∠ABD，　　　　　　　　　

∴BA＝BC

∴∠ABC＝2∠ABD

∴∠ABC=2∠CAF．　

（2）解：连接DE，

∵四边形ABED是圆内接四边形，

∴∠ABC＝∠CDE，∠CED＝∠CAB，

∴△CDE∽△CBA，　

∴CD∶CB＝CE∶CA　

∴CD×CA＝CE×CB　

∴BA＝BC，∠ADB＝90°

∴

设CE=x，∵CE：EB=1：4，∴EB＝5x，

∴

∴CE=2．