Question

【题目】若数列是公差为2的等差数列，数列满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

（1）求数列,的通项公式；

（2）设数列满足，数列的前n项和为，若不等式

对一切n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）；（2）(－2，3)。

【解析】

（1）对于anbn＋bn＝nbn＋1.令n=1可求得a1＝1，由等差数列的通项公式可求得an＝2n－1。进而anbn＋bn＝nbn＋1可变为2bn＝bn＋1，可得数列为等比数列，由等比数列的通项公式可求得bn＝2n－1. （2）根据已知条件应先求得cn＝＝，由特点根据错位相减法可求得Tn＝4－.则不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，对n分奇数、偶数讨论，根据不等式恒成立可求实数λ的取值范围。

(1) ∵数列{bn}满足b1＝1，b2＝2，且anbn＋bn＝nbn＋1.

∴ n＝1时，a1＋1＝2，解得a1＝1.

又数列{an}是公差为2的等差数列，

∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1.

∴ 2nbn＝nbn＋1，化为2bn＝bn＋1，

∴数列{bn}是首项为1，公比为2的等比数列.

∴bn＝2n－1.

(2)由数列{cn}满足cn＝＝＝，数列{cn}的前n项和为

Tn＝1＋＋＋…＋，

∴ Tn＝＋＋…＋＋，

两式作差，得

∴Tn＝1＋＋＋…＋－＝－＝2－，

∴Tn＝4－.

不等式(－1)nλ<Tn＋，化为(－1)nλ<4－，

当n＝2k(k∈N*)时，λ<4－，取n＝2，

∴λ<3.

当n＝2k－1(k∈N*)时，－λ<4－，取n＝1，

∴λ>－2.

综上可得：实数λ的取值范围是(－2，3).