Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是，向量，且.

（1）求角B的值；

（2）若，且，求△ABC的面积.

Answer 1

【答案】（1）；（2）△ABC的面积为。

【解析】

（1）由向量数量积的坐标运算可将m·n＝bcos B化为cos C＋cos A＝bcos B，然后用正弦定理的结论边化角可得 sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，进而再用两角和正弦公式和诱导公式可求cos B＝，进而可求角B。（2）由(1)知B＝，可将cos＝sin A中的角C化为A，可得cos＝sin A。利用两角差的余弦公式可得tan A＝，求得A＝，进而求得C＝.由|m|＝可得即a2＋c2＝20，在直角三角形中，可得a＝c，进而可求a，c的值。可求结论。

(1) 由m·n＝bcos B，得cos C＋cos A＝bcos B，

sin Acos C＋sin Ccos A＝2sin Bcos B，

即 sin(A＋C)＝2sin Bcos B，sin B＝2sin Bcos B，

∵0<B<π，sin B≠0，

∴cos B＝，

∴B＝.

(2) C＝π－A－B＝－A，cos＝sin A

∴cos＝sin A

∴cos A＝sin Atan A＝

∵ 0<A<π，

∴A＝，

∴C＝π－－＝.

在Rt△ABC中，a＝csin＝c，

又|m|＝，即a2＋c2＝20，

∴a＝2，c＝4，b＝＝2，

△ABC的面积S＝×2×2＝2.