Question

【题目】已知是坐标原点，若椭圆：的离心率为，右顶点为，上顶点为，的面积为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）已知点，为椭圆上两动点，若有，证明：直线恒过定点．

Answer 1

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【解析】

试题分析：（1）由离心率得,又，，又，即，则，,故椭圆的标准方程为；（2）先分析特殊情况，当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立方程组，由直线与圆锥曲线的的位置关系得 ，因为

，代入整理得：，直线的方程为，故直线超过定点，②当直线与轴垂直时，若，此时两点的坐标为，也有．

试题解析：（1）由离心率得,又，，

又，即，则，

故椭圆的标准方程为；

（2）①当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，联立

消去y整理得，

设，则

故=

得

即

整理得

直线的方程为，

故直线超过定点；

②当直线与轴垂直时，若，此时两点的坐标为，也有=-2

综上，直线恒过定点.