Question

【题目】已知数列的奇数项是公差为的等差数列，偶数项是公差为的等差数列， 是数列的前项和，

（1）若，求；

（2）已知，且对任意的，有恒成立，求证：数列是等差数列；

（3）若，且存在正整数，使得，求当最大时，数列的通项公式.

Answer 1

【答案】(1)14；(2)证明见解析；(3)

【解析】试题分析：

(1)利用题意求得公差，据此可得a10=14；

(2)结合(1)的结论证得d1=d2=2即可说明数列{an}是等差数列；

(3)分类讨论n的奇偶性即可得到数列的通项公式为.

试题解析：

(1)根据题意,有a1=1,a2=2,a3=a1+d1=1+d1,a4=a2+d2=2+d2,a5=a3+d1=1+2d1∵S5=16,a4=a5

∴a1+a2+a3+a4+a5=7+3d1+d2=16,2+d2=1+2d1∴d1=2, d2=3.

∴a10=2+4d2=14

(2)证明：当n为偶数时,∵an<an+1恒成立,∴，

∴

∴且d2>1

当n为奇数时,∵an<an+1恒成立,∴，

∴(1n)(d1d2)+2>0

∴

∴d1=d2

∵S15=15a8,∴

∴d1=d2=2

∴an=n

∴数列{an}是等差数列；

(3)若d1=3d2(d1≠0),且存在正整数m、n(m≠n),使得am=an，在m，n中必然一个是奇数，一个是偶数

不妨设m为奇数，n为偶数

∵am=an,∴

∵d1=3d2,∴

∵m为奇数,n为偶数,∴3mn1的最小正值为2,此时d1=3,d2=1

∴数列的通项公式为.