Question

【题目】如果关于x的方程 正实数解有且仅有一个，那么实数a的取值范围为（ ）
A.{a|a≤0}
B.{a|a≤0或a=2}
C.{a|a≥0}
D.{a|a≥0或a=﹣2}

Answer 1

【答案】B
【解析】解：由函数解析式可得：x≠0，如果关于x的方程 有且仅有一个正实数解，即方程ax3﹣3x2+1=0有且仅有一个正实数解，
构造函数f（x）=ax3﹣3x2+1，则函数f（x）的图象与x正半轴有且仅有一个交点．
又∵f'（x）=3x（ax﹣2）
①当a=0时，代入原方程知此时仅有一个正数解 满足要求；
②当a＞0时，则得f（x）在（﹣∞，0）和（ ，+∞）上单调递增，在（0， ）上单调递减，
f（0）=1，知若要满足条件只有x= 时，f（x）取到极小值0，x= 入原方程得到正数解a=2，满足要求；
③当a＜0时，同理f（x）在（﹣∞， ）和（0，+∞）上单调递减，在（ ，0）上单调递增
f（0）=1＞0，所以函数f（x）的图象与x轴的正半轴有且仅有一个交点，满足题意
综上：a≤0或a=2．
所以答案是：B.