Question

【题目】已知抛物线： 的焦点为，点为其上一点，且．

（1）求与的值；

（2）如图，过点作直线交抛物线于、两点，求直线、的斜率之积．

Answer 1

【答案】（1）p=4, ；（2）直线、的斜率之积为.

【解析】试题分析：（1）利用和点在抛物线上即可求解；

（2）讨论斜率不存在和斜率存在时两种情况，斜率不存在直接检验即可；当直线的斜率存在，设为，则其方程可表示为： ，与抛物线联立， ， ，利用韦达定理求解即可.

试题解析：

（1）抛物线： 的焦点为，准线为。

由抛物线定义知：点到的距离等于到准线的距离，故

， ，抛物线的方程为

点在抛物线上，

，

（2）由（1）知：抛物线的方程为，焦点为

若直线的斜率不存在，则其方程为： ，代入，易得：

， ，从而；

若直线的斜率存在，设为，则其方程可表示为： ，

由，消去，得：

即 ，

设， ，则

从而

综上所述：直线、的斜率之积为。