Question

【题目】已知一次函数f(x)为增函数，且f(f(x))＝4x＋9，g(x)＝mx＋m＋3(m∈R).

(1)当x∈[－1,2]时，若不等式g(x)＞0恒成立，求m的取值范围；

(2)如果函数F(x)＝f(x)g(x)为偶函数，求m的值；

(3)当函数f(x)和g(x)满足f(g(x))＝g(f(x))时，求函数的值域.

Answer 1

【答案】(1)(－1，＋∞)；(2) ；(3) .

【解析】试题分析：

(1)由题意得到关于实数m的不等式组，求解不等式组可得m的取值范围是(－1，＋∞)．

(2)首先得到关于的解析式，结合可得；

(3)由题意可得；结合函数的解析式换元，令，据此得到关于的二次函数，结合可得函数的值域为.

试题解析：

(1)由题意即

解得m＞－1，

∴m的取值范围是(－1，＋∞)．

(2)设f(x)＝kx＋b(k＞0)，

则由f(f(x))＝4x＋9，

得k2x＋kb＋b＝4x＋9，

∴∴∴f(x)＝2x＋3.

F(x)＝(2x＋3)(mx＋m＋3)，

又F(x)是偶函数，

∴F(－1)＝F(1)，

即(2m＋3)×5＝3，

∴m＝－.

(3)由f(g(x))＝g(f(x))，可得m＝3，

∴g(x)＝3x＋6，

∴h(x)＝2x＋3＋(x≥－2)，

设t＝，

则t∈[0，＋∞)且x＝(t2－6)，

∴y＝(t2－6)＋3＋t

＝t2＋t－1

＝2－，

∵t∈[0，＋∞)，

∴y∈[－1，＋∞)，

故h(x)值域为[－1，＋∞)．