Question

【题目】正方体中， 分别是的中点．

（1）证明：平面平面；

（2）在上求一点，使得平面．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）见解析

【解析】试题分析：（1）以D为原点，DA,DC，D分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系，

只需证明两平面的法向量数量积为0.(2)设，解得M(2,2λ，λ)，由平面，需，可求解。

试题解析： 证明：(Ⅰ)建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz，

不妨设正方体的棱长为2，则A(2,0,0)，E(2,2,1)，F(0,1,0)，A1(2,0,2)， D1(0,0,2)．

设平面AED的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，则

∴

令y1＝1，得n1＝(0,1，－2)．

同理可得平面A1FD1的法向量n2＝(0,2,1)．

∵n1·n2＝0，

∴平面AED⊥平面A1FD1．

(Ⅱ)由于点M在AE上，

∴可设＝λ＝λ(0,2,1)＝(0,2λ，λ)，

可得M(2,2λ，λ)，

于是＝(0,2λ，λ－2)．

要使A1M⊥平面DAE，需A1M⊥AE，

∴·＝(0,2λ，λ－2)·(0,2,1)＝5λ－2＝0，得λ＝．

故当AM＝AE时，即点M坐标为(2，，)时，A1M⊥平面DAE．