Question

【题目】【2014课标全国Ⅰ，文12】已知函数f(x)＝ax3－3x2＋1，若f(x)存在唯一的零点x0，且x0＞0，则a的取值范围是( )．

A．(2，＋∞) B．(1，＋∞)

C．(－∞，－2) D．(－∞，－1)

Answer 1

【答案】C

【解析】当a＝0时，f(x)＝－3x2＋1存在两个零点，不合题意；

当a＞0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，

令f′(x)＝0，得x1＝0，，

所以f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在处取得极小值，

要使f(x)有唯一的零点，需，但这时零点x0一定小于0，不合题意；

当a＜0时，f′(x)＝3ax2－6x＝，

令f′(x)＝0，得x1＝0，，这时f(x)在x＝0处取得极大值f(0)＝1，在处取得极小值，

要使f(x)有唯一零点，应满足，解得a＜－2(a＞2舍去)，且这时零点x0一定大于0，满足题意，故a的取值范围是(－∞，－2)．