Question

【题目】如图，已知多面体的底面是边长为的菱形， 底面， ，且．

（1）证明：平面平面；

（2）若直线与平面所成的角为，求二面角

的余弦值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）连接 ，交 于点，设中点为，连接， ，先根据三角形中位线定理及平行四边形的性质可得，再证明平面，从而可得平面，进而可得平面平面；（2）以为原点， ， ， 分别为轴，建立空间直角坐标系，分别求出平面与平面的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，可得结果

试题解析：（1）证明：连接，交于点，设中点为，连接， ．

因为， 分别为， 的中点，

所以，且，

因为，且，

所以，且．

所以四边形为平行四边形，所以，即．

因为平面， 平面，所以．

因为是菱形，所以．

因为，所以平面．

因为，所以平面．

因为平面，所以平面平面．

（2）解法：因为直线与平面所成角为，

所以，所以．

所以 ，故△为等边三角形．

设的中点为，连接，则．

以为原点， ， ， 分别为轴，建立空间直角坐标系（如图）．

则， ， ， ，

， ， ．

设平面的法向量为，

则即

则所以．

设平面的法向量为，

则即令则所以．

设二面角的大小为，由于为钝角，

所以．

所以二面角的余弦值为．

【方法点晴】本题主要考查线面垂直及面面垂直的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题. 空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.