Question

【题目】已知函数f（x）=loga（ +x）（其中a＞1）．
（1）判断函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）判断 （其中m，n∈R，且m+n≠0）的正负，并说明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：函数y=f（x）是奇函数，理由如下：

因为 ，所以函数y=f（x）的定义域为R．

又因为 ，

所以函数y=f（x）是奇函数

（2）解： ，理由如下：

任取0≤x1＜x2，设 ，

则 ，故0＜u1＜u2，从而 ．

因为a＞1，所以 ，

故 在[0，+∞）上单调递增．

又因为 为奇函数，

所以f（﹣n）=﹣f（n），且 在（﹣∞，+∞）上单调递增．

所以m+n=m﹣（﹣n）与f（m）+f（n）=f（m）﹣f（﹣n）同号，即

【解析】（1）函数y=f（x）是奇函数，理由如下：结合对数的运算性质和函数奇偶性的定义，可证明；（2） ，结合函数的单调性和奇偶性，可进行判断．
【考点精析】利用函数的奇偶性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．