Question

【题目】已知函数f（x）= （a＞0）在其定义域上为奇函数．
（1）求a的值；
（2）判断函数f（x）的单调性，并给出证明．

Answer 1

【答案】
（1）解：由f（﹣x）=﹣f（x）得 ，解得a=±1．

由因为a＞0，所以a=1

（2）解：函数f（x）在R上是增函数，证明如下：

证法一：设x1，x2∈R，且x1＜x2，易知 ，

则 ．）

因为x1＜x2，所以 ，

所以f（x1）＜f（x2），即f（x）是R上的增函数

证法二：∵ ，

∴ ，

∵f′（x）＞0恒成立，

∴f（x）是R上的增函数

【解析】（1）由f（﹣x）=﹣f（x）得 ，解得a的值；（2）函数f（x）在R上是增函数，证法一：设x1 ， x2∈R，且x1＜x2 ， 作差比较f（x1），f（x2）的大小，利用函数单调性的定义，可得f（x）是R上的增函数；
证法二：求导，根据′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是R上的增函数；
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．