Question

【题目】已知函数f（x）=2x+2﹣x ，
（1）判断函数的奇偶性；
（2）用函数单调性定义证明：f（x）在（0，+∞）上为单调增函数；
（3）若f（x）=52﹣x+3，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x+2﹣x的定义域为R，关于原点对称；

又f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），

∴f（x）为偶函数．

（2）证明：设x1，x2是（0，+∞）任意的两个数且x1＜x2，

则

=

= ，

∵0＜x1＜x2，y=2x是增函数，

∴ ；

∴ ；

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是单调增函数

（3）解：由题意可知，2x+2﹣x=52﹣x+3

令2x=t，（t＞0），则 ．

解得t=﹣1（舍去）或者t=4．

即2x=4，

∴x=2．

【解析】（1）先求f（x）的定义域，再判断f（﹣x）与f（x）的关系即可；（2）先设x1 ， x2是（0，+∞）任意的两个数且x1＜x2 ， 从而作差化简 = ，从而判号即可；（3）由题意可知，2x+2﹣x=52﹣x+3，利用换元法令2x=t，（t＞0），从而得到 ，从而解出t，再求x．
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识，掌握单调性的判定法：①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量，且x1＜x2；②判定f(x1)与f(x2)的大小；③作差比较或作商比较，以及对函数的奇偶性的理解，了解偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称．