Question

【题目】已知数列{an}的前n项和Sn=3n+m（m为常数，n∈N+）
（1）求a1 ， a2 ， a3；
（2）若数列{an}为等比数列，求常数m的值及an；
（3）对于（2）中的an ， 记f（n）=λa2n+1﹣4λan+1﹣7，若f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，求实数λ的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：a1=S1=2+m，

由S2=a1+a2，得a2=2，

由S3=a1+a2+a3，得a3=4

（2）解：∵a1=a+2，当n≥2时， ，

又{an}为等比数列，∴a1=1，

即m+2=1，得m=﹣1，

故

（3）解：∵ ，∴f（n）=λ22n﹣4λ2n﹣7，

令t=2n，则t≥2，f（n）=λt2﹣4λt﹣7=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，

设g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，

当λ=0时，f（n）=﹣7＜0恒成立，

当λ＞0时，g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7对应的点在开口向上的抛物线上，

∴f（n）＜0不可能恒成立，

当λ＜0时，g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7在t≥2时有最大值﹣4λ﹣7，

∴要使f（n）＜0对任意的正整数n恒成立，

只需﹣4λ﹣7＜0，即 ，此时 ，

综上实数λ的取值范围为 ．

【解析】（1）由 ，能求出a1 ， a2 ， a3 ． （2）由a1=a+2，当n≥2时， ，{an}为等比数列，求出a1=1，由此能求出常数m的值及an ． （3）由 ，得f（n）=λ22n﹣4λ2n﹣7，令t=2n ， 则t≥2，f（n）=λt2﹣4λt﹣7=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，设g（t）=λ（t﹣2）2﹣4λ﹣7，由此能求出实数λ的取值范围．
【考点精析】解答此题的关键在于理解等比数列的通项公式（及其变式）的相关知识，掌握通项公式：，以及对数列的前n项和的理解，了解数列{an}的前n项和sn与通项an的关系．