Question

【题目】在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E为BB1中点．

（1）证明：AC⊥D1E；
（2）求DE与平面AD1E所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接BD

∵ABCD﹣A1B1C1D1是长方体，

∴D1D⊥平面ABCD，

又AC平面ABCD

∴D1D⊥AC

在长方形ABCD中，AB=BC

∴BD⊥AC

又BD∩D1D=D

∴AC⊥平面BB1D1D，

而D1E平面BB1D1D

∴AC⊥D1E

（2）解：如图建立空间直角坐标系D﹣xyz，则A（1，0，0），D1（0，0，2），E（1，1，1），B（1，1，0），

设平面AD1E的法向量为 ，则 ，

令z=1，则

∴cos＜ ， ＞= =

∴DE与平面AD1E所成角的正弦值为

【解析】（1）根据已知中长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=1，AA1=2，E是侧棱BB1的中点，结合长方体的几何特征，我们可得D1D⊥AC，BD⊥AC，结合线面垂直的判定定理即可得到AC⊥平面BB1D1D，即可得出结论；（2）建立空间直角坐标系，求出平面AD1E的法向量，利用向量的夹角公式，即可求DE与平面AD1E所成角的正弦值．
【考点精析】利用空间角的异面直线所成的角对题目进行判断即可得到答案，需要熟知已知为两异面直线，A，C与B，D分别是上的任意两点，所成的角为，则．